Hintergrund: Computergestützte Modellanpassung

Die computerunterstützte Modellanpassung (computational model updating) ist eine interessante ICS-Dienstleistung zur Validierung von FE-Modellen. Durch simultane Anpassung mehrerer ausgewählter Modellparameter kann hiermit eine Minimierung der Abweichungen zwischen Versuch und Analyse erreicht werden.

Die Modellvalidierung erfolgt dabei in zwei Schritten:

  1. Anpassung von Steifigkeits- und Trägheitseigenschaften (physikalische Parameter)
  2. Anpassung modaler Dämpfungen (modale Parameter)

Im ersten Schritt werden lediglich Steifigkeits- und Trägheitseigenschaften (physikalische Parameter) angepasst. Hierzu werden die Abweichungen zwischen gemessenen (identifizierten) und analytischen Daten, z. B. Eigenfrequenzen und Eigenformen, minimiert. Verwendet wird dabei ICS.sysval, ein speziell entwickeltes MATLAB®-Programmpaket. ICS.sysval nutzt zu einem großen Teil die Analysekapazitäten von MSC.Nastran™, insbesondere den Sensitivitätsmodul, wodurch die Handhabung von FE-Modellen industrieller Größenordnung ermöglicht wird. Die Parameteränderungen werden direkt im sogenannten "Bulk Data" Bereich (dem Bereich, in dem das FE-Modell definiert wird) der MSC.Nastran™ Eingabedatei vorgenommen. Hierdurch sind alle physikalischen Parameter wie Schalendicken, Balkenquerschnittsdaten, E-Module oder Dichten, die die Steifigkeits- und Trägheitseigenschaften des elastomechanischen Systems beeinflussen, einer computerunterstützten Modellanpassung zugänglich.

Zur Handhabung komplexer elastomechanischer Systeme ist i. a. eine Zerlegung in Komponenten erforderlich, um die Anzahl unsicherer Modellparameter zu reduzieren. Die Komponenten werden dann einzeln untersucht und gegebenenfalls angepasst. Danach kann eine Bewertung der (modifizierten) Gesamtstruktur erfolgen. Sollte die Modellgüte noch nicht ausreichend sein, so kann eine weitere Anpassung des Gesamtmodells erfolgen. Hierbei müssen nur noch die Anschlussparameter, z. B. die Steifigkeiten von Verbindungselementen, berücksichtigt werden.

Nach erfolgreicher Anpassung der Steifigkeits- und Trägheitseigenschaften (physikalische Parameter) kann im zweiten Schritt die Anpassung modaler Dämpfungen (modale Parameter) erfolgen. Dazu werden die Abweichungen in den Resonanzbereichen zwischen gemessenen und analytischen Frequenzgängen mit Hilfe eines weiteren, ebenfalls speziell entwickelten MATLAB®-Programmpaketes, minimiert. Ziel ist es, insgesamt eine hohe qualitative und quantitative Genauigkeit der FE-Analyseergebnisse zu erreichen und damit ein (zumindest im erfassten Frequenzbereich) validiertes Modell zu erhalten.

Im folgenden werden die theoretischen Grundlagen kurz skizziert.

Anpassung physikalischer Parameter:

Basis für die Anpassung physikalischer Steifigkeits- und Trägheitsparameter bildet die Parametrisierung der Systemmatrizen nach (1) (siehe auch [1], [2]), welche eine lokale Anpassung unsicherer Modellbereiche erlaubt:

(1a) K = KA + ∑ αi Ki, i = 1...nα
(1b) M = MA + ∑ βj Mj, j = 1...nβ

mit:
KA, MA Ausgangssteifigkeitsmatrix/Ausgangsmassenmatrix
p = [αij] Vektor unbekannter Anpassungsfaktoren
Ki, Mi ausgewählte Substrukturmatrizen, die Ort und Art der anzupassenden Modellparameter beinhalten

Unter Nutzung der Gleichungen (1) und zweckmässiger Residuen (die verschiedene Versuch-/Analyseabweichungen enthalten, z. B. Eigenfrequenz- und Eigenformabweichungen, Abweichungen von Frequenzgängen) kann die folgende Zielfunktion abgeleitet werden:

(2) J(p) = ΔzT W Δz + pT Wp p → min

mit:
Δz Residuenvektor
W, Wp Wichtungsmatrizen

Die Minimierung der Zielfunktion (2) liefert die gesuchten Anpassungsfaktoren p. Der zweite Term auf der rechten Seite von Gleichung (2) dient dabei der Begrenzung der Variation der Anpassungsfaktoren. Die Wahl der Wichtungsmatrix muss mit Bedacht erfolgen, da für Wp >> 0 keinerlei Änderung erfolgt.

Die Residuen Δz = zT - z(p) (zT: Versuchsdatenvektor, z(p): zugehöriger Analysedatenvektor) sind i. a. nichtlineare Funktionen der Parameter. Daher ist auch das Minimierungsproblem nichtlinear und muss iterativ gelöst werden. Eine Möglichkeit besteht in der Anwendung des klassischen Sensitivitätsansatzes (siehe [2]), bei dem der Analysedatenvektor am Punkt 0 linearisiert wird. Die Linearisierung erfolgt dabei über eine Taylorreihenentwicklung, die nach dem linearen Glied abgebrochen wird. Dies führt auf:

(3) Δz = Δz0 - G0 Δp

mit:
Δp = p - p0 Änderung der Anpassungsfaktoren
Δz0 = zT - z(p0) Abweichung Versuch/Analyse am Linearisierungspunkt 0
G0 = ∂z/∂p|p = p0 Sensitivitätsmatrix am Linearisierungspunkt 0 (die Berechnung für verschiedene Arten von Residuen ist z. B. in [1], [2] zu finden)
p0 Anpassungsfaktoren am Linearisierungspunkt 0

Sofern die Anpassungsfaktoren keinerlei Begrenzungen unterliegen, erhält man aus (2) das lineare Problem (4), das in jedem Iterationsschritt für den aktuellen Linearisierungspunkt gelöst werden muss.

(4) (G0T W G0 + Wp) Δp = G0T W Δz0

Für Wp = 0 entspricht Gleichung (4) der Methode der gewichteten kleinsten Fehlerquadrate. Natürlich kann ebensogut jedes andere mathematische Minimierungsverfahren zur Lösung verwendet werden.

Anpassung modaler Dämpfungsparameter:

Für die Anpassung modaler Dämpfungsparameter wird ebenfalls der klassische Sensitivitätsansatz benutzt. Als Residuum wird in diesem Fall die Abweichung zwischen gemessenen und analytischen Frequenzgängen verwendet (siehe z. B. [3]).

Literatur:

[1] Link, M. et al.:
"Baudynamik und Systemidentifikation"
in: Der Ingenieurbau, Grundwissen, [5] Baustatik, Baudynamik, Hrsg. G. Mehlhorn, Ernst & Sohn, Berlin, 1995

[2] Natke, H. G.:
"Einführung in die Theorie und Praxis der Zeitreihen- und Modalanalyse"
3., überarb. Aufl., Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden, 1992

[3] Schedlinski C. und Seeber I.:
"Computerunterstützte Modellanpassung von Finite Elemente Modellen industrieller Grössenordnung"
Konferenzband: MSC Anwenderkonferenz, Weimar, 21.-22. Juni 1999

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